Le début du livre des Principia est consacré au calcul des lois de forces centrales entrainant des trajectoires circulaires ou elliptiques. Bien que Newton soit, avec Leibnitz, l'inventeur du calcul différentiel, les méthodes utilisées sont purement géométriques. La principale consiste à considérer une trajectoire polygonale formée par les arêtes de triangles dont un sommet est le centre de la force, l'autre consiste en l'approximation de la courbure en chaque point par un cercle (osculateur). La démonstration de la loi utile en astronomie (trajectoire elliptique et centre à un foyer de l'ellipse) est d'une virtuosité ahurissante, la simple "loi de transmutation des forces" est d'une efficacité impressionnante.
On trouve des lois en r, 1/r², 1/r³ ce qui m'a amené a me poser la question du passage à la limite de l'une à l'autre via la trajectoire circulaire.
N1: un corps en mouvement se déplace en ligne droite si aucune force n'agit sur lui
Sommaire
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| Planche dépliantes des figures 1 de la traduction de Mme du Chatelet. Les figures se trouvent au contraire dans le texte dans l'édition latine originale |
Les Principia sont divisés en 3 livres:
- Théorie mathématique du mouvement sous des forces centripètes
- Réfutation de l'idée cartésienne des vortex fluides par l'étude du mouvement dans des milieux résistants
- Dérivation de la loi de la gravité universelle et ses implications
Dans les axiomes du livre 1 on trouve les 3 lois de Newton:
N1: un corps en mouvement se déplace en ligne droite si aucune force n'agit sur lui
N2: La variation de la vitesse d'un corps sur un intervalle de temps est proportionnel à la force appliquée.
N3: L'action est toujours égale à la réaction. Cad que l'action mutuelle de deux corps sont toujours égales et dirigées en sens contraire
Mais on ne trouvera que dans le livre III, déduit à l'aide des observations astronomiques:
N4: la grandeur de la force de gravitation entre deux corps est proportionnelle à 1/r² ou r est la distance entre eux .
Les procédés de calcul des Principia sont purement géométriques: il s'agit d'écrire des règles de proportionnalité ou d'égalité dans des figures et de considérer ce qu'elles deviennent "ultimement" (cad très petites à la limite). Pour prouver le passage à la limite on considère la conservation d'un rapport de similitude entre une figure dont les cotés "s'évanouissent" et une figure finie.
Tout cela est exposé dans la première section (lemmes I à XI) dont on a du mal à saisir la progression.
Un exposé détaillé des lemmes se trouve ici, Quelques lemmes sont en annexe.
Les résultats les plus importants sont que les espaces parcourus sous l'effet d'une force centrale sont proportionels au carré des temps et que la "flèche" est aussi proposrtionelle au carré des temps.
Allons directement à la section 2, commençons par la loi des aires.
Loi des aires ( proposition I théorème I)
Dans les mouvements curvilignes des corps les aires décrites autour d'un centre immobile, sont dans un même plan immobile et sont proportionnelles au temps
Considérons d'abord un mouvement uniforme (donc rectiligne)
Si on divise le temps en parties égales le corps décrit AB puis BC=AB ...
On prend un point S quelconque. L'aire SAB est égale à l'aire SBC (deux triangles de même hauteur: Sh x AB=Sh x BC) .
Le point S est maintenant le centre du mouvement. Au lieu de parcourir Bc " arrivé en B, la force centripète agit sur lui d'un seul coup" et l'oblige à suivre la droite Bc. Cc est parallèle à BS.
SBC et SBc ont même coté SB et même hauteur Ch.
Les aires d'une trajectoire parcourues en un même temps sont donc égales.
De façon moderne
Comme l'accélération dérive d'une force centrale, le produit vectoriel est nul
Donc r²θ'= Cte
γt doit être nulle si la force est centrale. Donc r²θ'= Cte (conservation du moment angulaire, la constante est notée traditionellement h)
On peut aussi considérer l'accélération tangentielle en polaire
γt = rθ''+2r'θ'
Pour une discussion sur le passage à la limite voir H Erichson
Propositions I, II (utiles à N4)
Ces deux propositions seront utilisées dans le livre III pour établir N4
Mouvement circulaire (proposition III)
Les corps qui parcourent uniformément différents cercles sont animés par des forces centripètes qui tendent au centre de ces cercles et qui sont entre elles comme le carré des arcs décrits en temps égal, divisés par les rayons de ces cercles.Soit un cercle de rayon r parcouru à une vitesse constante v avec une période T et F la force centripète
- F ~ v²/r
- F ~ r/T²
- Si v ~ r => F ~ r
- Si v ~ r1/2 => F = Cte
- Si T ~ r , => F ~ 1/r, v = Cte
- Si T² ~ r³ => F ~ 1/r², v ~ 1/r½
- Si T ~ rⁿ => F ~ 1/r²ⁿ⁻ˡ, v ~ 1/rⁿ⁻ˡ
Le déplacement QR par rapport à la tangente est proportionnel au produit de la force centripète par le carré du temps et donc la force est comme QR/t². Le temps est proportionnel à PQ divisé par la vitesse v et à la limite quand Q tend vers P alors PQ et PR sont confondus et donc t² est égal à PR²/v². La puissance du point R par rapport au cercle montre que dans cette limite PR² est égal au produit de QR et deux fois le rayon r et donc la force pour un mouvement sur un cercle varie comme v²/r.
F ~ QR/t² t²=PR²/v² PR²= 2QR r, t²=2QR r/v², => F ~ v²/r
Si le mouvement est uniforme de période T: F ~ r/T² (v=2πr/T)
NB: Le mouvement a une période T. La vitesse est donc v=2πr/T. Si on regarde le changement total des vitesses quand le cercle est parcouru cela forme aussi un cercle 2πv, donc le changement moyen des vitesses est 2πv/T=4π²r/T². Le changement de vitesse est proportionnel à la force en 1/r² donc r/T² ~ 1/r² ou r³ ~ T².
Si on rapproche F ~ r/T² avec la loi de Newton N4 F ~ 1/r² :
r/T² ~ 1/r² => r³ ~ T² (ce qui rappelle la troisième loi de Kepler: T² ~ a³, a demi grand axe de l'ellipse. Le cercle est parcouru avec la même période que toutes les ellipses dont a = r quelle que soit leurs excentricités (cercle apsidal) )
Généralisation à un mouvement quelconque (proposition VI)
On va considérer un mouvement pas nécessairement uniforme par une force centripète le long d'une trajectoire arbitraire dans laquelle des aires égales sont balayées en des temps égaux par rapport à S. Si un corps décrit autour d'un centre immobile un orbe quelconque dans un espace non résistant et qu'on suppose que la flèche de l'arc naissant que ce corps parcourt dans un temps infiniment petit ( et qui partage sa corde en deux parties égales) passe, étant prolongée, par le centre de force; la force centripète dans le milieu de l'arc sera en raison directe de cette flèche et en raison doublée inverse du temps
Un corps tourne autour d'un centre S, la droite ZP touche sa trajectoire en P. En un point Q ultérieur de sa trajectoire on mène QR//SP et on abaisse QT perpendiculaire à SP.
Ce résultat est la base du raisonment de Newton
La force centrale en S est proportionnelle au déplacement de la tangente QR, sur un court incrément de temps t, divisé par le carré de ce temps; mais le temps est proportionnel non pas à l'arc PQ, mais à l'aire balayée, qui dans la limite à l'approche de Q de P, est l'aire triangulaire SP x QT / 2. Par conséquent, pour maintenir un corps en mouvement le long d'une trajectoire non circulaire donnée, la force centripète doit varier le long de la trajectoire comme 1 / SP² fois la limite de QR / QT² lorsque Q s'approche de P.
| QR QR |
| F ~ ── ~ ────── |
| t² SP² x QT² |
De façon moderne le déplacement QR du à une force constante est
Or t² ~ SP² x QT²
donc
| QR |
| F ~ ────── |
| SP² x QT² |
Considérons le cercle osculateur au mouvement.
Traçons SY perpendiculaire à QP, Qv parallèle à RP, VP étant une corde du cercle.
Les triangles QPT et YSP sont semblables
SY/SP=QT/QP
vP x Vv = VQ² or vP= QR donc
La première expression de F était obtenu en décomposant la trajectoire en triangles, cette seconde formule l'approxime par une trajectoire circulaire. Les raisonnements de Newton utilisent alternativement la première ou la deuxième expression de la force.
Force centrale pour une trajectoire circulaire (proposition VII problème II)
Trouver la loi de la force centripète qui tend à un point donné et qui fait décrire à un corps la circonférence d'un cercle
PV la corde qui passe par S, VA le diamètre qui passe par V, AP la corde tirée de A à P. QT une perpendiculaire à PV passant par Q. RL // à PV et rencontrant le cercle en L et la tangente PZ en R.
ZQR, ZTP, VPA sont semblables (l'angle VPO est égal à PVA et VPO + VPZ=90°)
donc QR x RL/QT²=AV²/PV² (RP/QT=AV/PV à cause des triangles semblables et la puissance du point R (1) donne RP²= QR x RL).
donc QR x RL/QT²=AV²/PV² (RP/QT=AV/PV à cause des triangles semblables et la puissance du point R (1) donne RP²= QR x RL).
On peut récrire QR x RL x PV²/AV²= QT²
Puis en multipliant l'équation par SP²/QR et en remplaçant RL par PV quand Q s'approche P;
SP² x PV³ | SP² x QT² | |
────── | = | ────── |
AV² | QR |
AV étant fixe la force centripète sera comme l'inverse de SP² x PV³
Si S tend vers le centre du cercle, Z va vers l'infini, la force est alors en 1/r³
Si S est sur le cercle la force est en 1/SP⁵
- Newton utilise la proposition 36 du livre 3 d'Euclide
Transmutation des forces ( proposition VII corollaires II et III)
La force par laquelle un corps P circule dans un orbe quelconque autour d'un centre de force S est à la force par laquelle ce même point peut circuler dans le même temps périodique et dans la même orbe autour d'un centre quelconque S' comme :
Ou SG est la parallèle à SP tirée de S et G le point d'intersection avec la tangente en P à la trajectoire.
Suivant la démonstration précédente les forces tendant vers S et S' sont dans le rapport
Supposons d'abord que la trajectoire forme un cercle de rayon r le long duquel le corps se meut uniformément et considérons les points successifs P et Q de la trajectoire APQ. PRZ la tangente en P, QR la déviation due à la force.
S'P² x PV² ~ SP² x PA3
SP x S'P² ~ SP3 x AP3/PV3
Les triangles SPG et APV sont semblables
SP x S'P² ~ SG3
Le cas général s'en déduit en considérant le cercle osculateur.
Retour sur la trajectoire circulaire
Supposons d'abord que la trajectoire forme un cercle de rayon r le long duquel le corps se meut uniformément et considérons les points successifs P et Q de la trajectoire APQ. PRZ la tangente en P, QR la déviation due à la force.Suivant la proposition 6 le temps n'est plus proportionnel à l'arc PQ mais à la surface balayée SP x QT/2
La puissance du point R donne RP² = QR x RL
Oups ! Ce n'est pas ce qui était prévu: on espérait 1/r² !
RP²/QR = QT²/QR = RL
RL -> 2r = Cte quand Q s'approche de P
Donc:
| 1 |
| F ~ ─── |
| r³ |
On a vu que le pour le mouvement circulaire: T ~ rⁿ => F ~ 1/r²ⁿ⁻ˡ, v ~ 1/rⁿ⁻ˡ
1/r³ est bien compatible avec l'expression générale de la force centripéte v²/r avec v ~ 1/r
Est ce que : F ~ r/T² avec F ~ 1/r³ : r ² ~ T ?
On reviendra plus loin sur cette "contradiction" : une accélération en 1/r³ pour une trajectoire circulaire.
Démonstration par transmutation du cas d'un centre quelconque
La formule de transmutation des forces donne:
Mouvement elliptique (force tendant au centre de l'ellipse)
La formule de transmutation des forces donne:F' ~ F x SG³/(S'P²x SP)
Soit
F' ~ 1/SP³ x SG³/(S'P²x SP)
F ~ SG³/(S'P²xSP4)
VPA et SPG semblables
SG/AV=SP/PV
F ~ SP³x AV³/(PV³ x S'P² x SP⁴)
F ~ AV³/ (PV³x S'P²xSP)
F ~ 2AV²/(PV³x S'P²)
SP et AV sont constants
F ~ 1/(S'P²x PV³)
Trajectoires elliptiques ( proposition X problème V et proposition XI problème VI)
Dans les applications à "des coniques excentriques" on va donc essayer de calculer (SP² x QT²)/QR
Malheureusement l'application à divers cas n'a rien d'immédiat et il faut à chaque fois pas mal de considérations géométriques.
Un corps faisant sa révolution dans une ellipse; on demande la loi de la force centripète, lorsqu'elle tend vers le centre de l'ellipse. ( proposition X, problème V)
Soit CA, CB, les demi axes de l'ellipse, GP, DK d'autres diamètres conjugués, PF, PT des perpendiculaires à ces diamètres, PF // à QR, Pv//PR.
On a dans le parallélogramme QvPR:
Pv x Gv/Qv³=PC²/CD² (voir pb VI)
QvT, PCF semblables:
Qv²/QT² = PC²/PF²
Donc en composant:
Qv x Gv/QT ²= PC²/CD² x PC²/PF²
Pv -> QR, CD x PF = BC x CA, Gv = 2PC
| QR x Gv PC² x PC² |
| ── |
| QT² BC² x CA² |
| QR PC |
| ── |
| QT² x PC² 2BC² x CA² |
BC et AC étant fixes F ~ PC
Remarque : D'après la proposition 6: QR/QT² ~ 1/PC³
Mouvement elliptique ( Force tendant à un foyer)
Un corps faisant sa révolution dans une ellipse; on demande la loi de la force centripète, lorsqu'elle tend vers un des foyers. ( proposition XI, problème VI)
Du Chatelet p 66 (Dunod p 45), Newton p 50
Donnons d'abord la démonstration telle qu'elle se trouve dans les Principia
Notation des Principia
A : B :: C : D veut dire que A et B sont dans la même proportion que C et D autrement dit que A/B=C/D
Dans le texte latin cela s'écrit:
erit A ad B ut C ad D
on a aussi: æquatur (=), quad (carré), ergo (par conséquent),...
Exemple: L x Pv ad GvP ut L ad Gv signifie (L x Pv)/(Gv x vP) = L/Gv
Démonstration de Nexwton
Soient S le foyer de l'ellipse, E la rencontre de SP avec le diamètre DK, x celle de la même ligne SP avec l'ordonnée Qv, Q x PR le parallélogramme fait sur Px et Qx.
On voit d'abord que EP est égal au demi grand axe AC; car menant par l'autre foyer H la droite HI parallèle à DK, il est clair que EI sera égale à SE à cause de l'égalité qui est entre CH et CS et par conséquent PE sera égale à la moitié de la somme de PI et de PS ou ce qui revient au même à AC moitié de de la somme de PS et de PH, puisqu'il suit de ce que HI est parallèle à RP et de ce que les angles HPZ et IPR sont égaux, que HP =PI .
Abaissant ensuite QT perpendiculaire à SP et nommant L le paramètre du grand axe, c'est à dire 2BC²/AC on verra que L x QR : L x PV :: QR : Pv, c'est à dire :: PE (ou AC/2) : PC mais L x Pv : Gv x vP :: L : Gv et Gv x vP : Qv² :: PC² : CD² ; de plus Qv²: Qx² en raison d'égalité ( cor 1 lemme 7) lorsque les points P et Q coïncident , et Qx² ou Qv²: QT ²:: EP² : PF², c'est à dire :: CA² : PF² ou ( lemme 12) :: CD²: CB²; donc en composant toutes ces raisons on aura L x QR : QT² :: AC x L PC² x CD² ou :: 2 CB² x PC² x CD² : PC x Gv x CD² ou 2CB² x PC² : PC x Gv x CD² x CB² ou :: PC : Gv. Or puisque :2PC & Gv sont égales lorsque les points P et Q coïncident, les quantités L X QR et QT² qui leur dont proportionnelles seront donc égales aussi. Multipliant présentement ces quantités égales par SR/QR on aura L x SP² = (SP² x QT²) /QR. donc par les corollaires 1 et 5 de la proposition 6 la force centripète sera réciproquement comme L x SP² c'est à dire en raison inverse de SP². CQFT
Démonstration commentée
On prend sur l'ellipse 2 points Q et P que l'on va rapprocher
DK est // à la tangente à l'ellipse en P
DK est // à la tangente à l'ellipse en P
On démontre d'abord: EP = AC
HI//DK, CH=CS => EI=SE
PE= (PI+PS)/2
HI//RP, HPZ=IPR => HP=PI
PE=(HP+PS)/2=AC ( HP+PS définit un point de l'ellipse (somme des distances aux foyers), de même que 2AC)
On prend L =2BC²/AC
On prend L =2BC²/AC
NB: le paramètre moderne (noté p) d'une ellipse est la moitié du "Latus rectum": corde perpendiculaire à l'axe principal passant par un foyer
La longueur du latus rectum d’une ellipse est égale à 2 fois le carré de la longueur de l’axe conjugué
divisé par la longueur de l’axe principal (p = 2L= BC²/AC)
La longueur du latus rectum d’une ellipse est égale à 2 fois le carré de la longueur de l’axe conjugué
divisé par la longueur de l’axe principal (p = 2L= BC²/AC)
On démontre ensuite L x QR=QT²
De façon ahurissante on va considérer l'équation (1):
L x QR | L x QR | L x Pv | Gv x vP | Qv² | ||||
─── | = | ──── | x | ── | x | ──── | x | ── |
QT² | L x Pv | Gv x vP | Qv² | QT² |
Que l'on transformera en (2) :
L x QR | AC | L | PC² | CD² | ||||
─── | = | ── | x | ── | x | ── | x | ── |
QT² | PC | Gv | CD² | CB² |
Puis en:
L x QR | 2PC | |
─── | = | ── |
QT² | Gv |
D'où on conclura quand Q tend vers P:
L x QR | ||
─── | = | |
QT² |
L x QR = QT²
Soit en multipliant par SP²/QR
| SP² x QT² |
| L x SP² = ── |
| QR |
Or Newton a démontré dans le cas général (proposition VI corolaires 1et 5 ) "que la force centripète sera réciproquement comme (SP²x QT²)/Qr quand P et Q "coïncident"";
Donc la force est proportionnelle à 1/SP² cqfd.
Il reste simplement à justifier la transformation de (1) en (2)
Premier terme
(L+Qr)/(L+Pv)= Qr/Pv=PE/PC=AC/PC (Pxv et PEC semblables et PE=AC)
Second terme
(L x Pv)/(Gv x vP)=L/Gv
Troisième terme
(Gv x vP)/Qv²= PC²/CD² (vrai si Q=D; dans le cas d'un cercle la puissance de v est vP.Gv=Qv², celle de C est CP²=CD², donc Gv.vP/Qv²=PC²/CD², propriété conservée par une transformation affine )
Quatrième terme
(en utilisant Qx²/QT² -> 1 ( lemme VII corolaire 2) )
Qx²/QT²=Qv²/QT²=EP²/PF²=CA²/PF²=CD²/CB² (des parallélogrammes inscrits dont les diagonales sont des diamètres conjugués ont même aire, CA x CB = DC x PF)
Démonstration par transmutation
La formule de transmutation des forces donne:
F' ~ F x SG³/(S'P²x SP)
mais
SG= PR= (S'P+PT)/2SG=(S'P+PS'')/2
SG= SA= Cte => F' ~ F/(S'P² x SP)
Mais F ~ SP
donc F' ~ 1/S'P²
Problème
Une force centrale est de la forme K/rn
Si le centre de la force est au centre de l'ellipse, elle est en r
Si le centre de la force est au foyer de l'ellipse, elle est en 1/r²
Si le centre de la force est au foyer de l'ellipse, elle est en 1/r²
Si le centre de la force est au centre du cercle, elle est en 1/r³ ?
Quelle conclusion peut-on tirer dans le cas d'un mouvement dans une ellipse pour laquelle les foyers sont très proches du centre et donc tend vers un cercle ?
Quelle conclusion peut-on tirer dans le cas ou l'ellipse s'approche d'un cercle ?
Comment expliquer le passage d'une puissance à une autre ?
Résolution "moderne" de l'équation de mouvement
On a vu plus haut:
γr = r''- rθ'²
On voudrait éliminer le temps pour cela on pose u=1/r et on calcule:
En remplacant dans l'expression de γr
L'équation d'une conique avec l'origine au foyer est est u = (1+e cos(Ө))/p
γr = C²u²/p = C²/pr²
Dans le cas de l'ellipse l'accélération est indépendante de l'excentricité et ne dépend que du demi axe et dans le cas du cercle: γr = C²/r³
Cas d'une force centrale tendant au centre de l'ellipse.
Traiter ce cas avec l'équation différentielle est surement très ardu, on va utiliser la seconde méthode de Newton: le cercle d'égale courbure (osculateur).
Reformulons la loi des aires avec la vitesse v et l'angle α entre la tangente à la trajectoire et SP = r
La force Fs au centre de force et la force Fc au centre du cercle osculateur de rayon ρ sont dans le rapport
On en déduit
Dans le cas de la force au centre de l'ellipse, on note a et b le demi grand axe et petit axe et β l'angle formé par les demi-droites menées d'un point de la trajectoire, l'une lui étant normale, l'autre passant par un foyer. On a alors pour le rayon ρ du cercle osculateur
Avec les notations de la figure des Principia (C centre de l'ellipse, S foyer) en remplacant sin α = PF/PC et ρ = (CD² PC)/(PC PF)
Comme PF x CD est constant la force est bien proportionnelle à PC.
Notons que si l'ellipse tend vers un cercle CD = PF = PC = r donc F = K/r³
Reprenons le cas de la trajectoire circulaire
γr = r''- rθ'²
Pour que la trajectoire soit un cercle, r'' doit être nul
γr = - rθ'²
La loi des aires donne
C = r²θ'
γr = - C²/r³ quelque soit l'expression de l'accélération radiale (et v = C/r , T = 2πr²/C)
Si on suppose γr = -a/rn
C²=a/ rn-3
En particulier si n = 3, a = C²
La démonstration géométrique donnée plus haut suppose implicitement C indépendant de r (v ~ 1/r), en oubliant la proposition IV, et on trouve donc une loi en 1/r³.
En résumé pour une trajectoire circulaire:
Pour n = 3, C² = a (v ~1/r), cas limite d'une spirale
Pour n = 2, C² = ar (v ~ 1/r½), cas limite de l'ellipse avec centre de force au foyer
Pour n = 1, C² = ar² (v ~ Cte)
Pour n = 0, C² = ar³ (v ~ r½)
Pour n = -1 , C² = ar⁴ (v ~ r ), cas limite de l'ellipse avec centre de force en son centre
Examinons la stabilité des trajectoires.
r'' - C²/r³ = γr
Supposons une orbite r perturbée r -> r + Ԑ et C -> C + h ( C + h restant constant par la loi des aires)
Pour un mouvement circulaire γ(r) = - C²/r³
L'équation devient:
Ԑ''- q²(€ - €₀) = 0
Si q² > 0 l'équation est instable si q² < 0 la trajectoire oscille autour de r
La trajectoire est donc instable pour n >3 et stable pour n <3
Si n> 3 il n'y a plus de "barrière centrifuge" et donc en dehors de l'équilibre le point "tombe" vers le centre de force
Le cas n = 3 a été étudié par Roger Cotes, un proche de Newton, les trajectoires générales sont les spirales de Cotes
Par exemple pour une spirale u = Aeθ
Energie
Soit l'énergie d'une particule élémentaire dans un champ de force centrale
L'énergie potentielle effective ne dépend que de r (et C = r²θ' d'après la loi des aires)
C²/2r² est l'énergie centrifuge
La vitesse s'annule aux points de rebroussement qui constitue les limites de la trajectoire s'ils existent.
Supposons qu'il y ait deux limites rmin et rmax, la trajectoire est alors limitée entre deux cercles rmin et rmax mais cela n'implique pas que la trajectoire soit fermée. Pour cela il faut que la variation d'angle en passant de rmin à rmax soit de la forme 2πm/n.
La condition peut s'écrire:
r ne peut s'annuler que si
Ce qui est vrai si Ep -> -a/r² avec a > C²/2 ou pour Ep = -1/rm avec m > 2
Une particule en mouvement ne peut donc "tomber" sur le centre de force que si m>2 (ou si m=2 sous condition),
Si le potentiel est en -1/rm , la force est en -1/rm+1 .Posons n = m+1, la particule "tombe" si la force est en -1/rⁿ avec n >3 (ou n=3 sous condition)
Inversement si la force est en -1/rⁿ, l'énergie potentielle est en -1/rⁿ⁻ˡ, soit -k/rⁿ⁻ˡ
n = 2 Eeff = C²/2r² - k/r (k>0)
n = 3 Eeff = (C²/2-k)/r² (k>0)
n =-1 Eeff = C²/2r²-kr² (k<0) (l'énergie augmente avec r)
On peut regarder graphiquement l'intersection des courbes Eeff(r) avec une droite E = Cte
Dans le cas n = 2, s'il y a une solution pour Eeff < 0, r varie entre rmin et rmax (ellipse dont le centre de force est un foyer), un cas particulier étant Eeff minimale ou r = cte (cercle)
Dans le cas n=3 Eeff est croissante avec r il n'y a que r = Cte possible (cercle)
Pour le cas n= -1 Eeff est positive, Si une solution est possible r peut varier de rmin à rmax , la trajectoire est une ellipse dont le centre est le centre de force.D'après le théorème de Bertrand seules les lois en r et en 1/r² permettent des trajectoires fermées quelles que soient les conditions initiales.
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Sites et références
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| Newton par William Blake |
Il y a surement de grosses bêtises dans ce texte. Désolé !
Mathématiques et physique ne sont pour moi que de lointains souvenirs, il me reste la curiosité.
Celle-ci m'a poussée à essayer de lire les Principia de Newton. J'ai trouvé de l'aide dans un petit livre de Michel Blay, dans la Stanford Encyclopedia of philosophy. ou dans des cours de mécanique.
J'ai été surpris par la puissance d'un bref corollaire sur la transmutation des forces et ne comprends toujours pas vraiment comment on peut passer de lois centrales en 1/r³ (cercle) , à 1/r² (foyer de l'ellipse), puis à r (centre de l'ellipse)
Le plus facile est évidemment de lire la traduction de la marquise du Chatelet mais il est bon de se reporter de temps en temps au texte latin initial.
- Principia 1687 (1ere édition) sur Gallica
- Principia 1687 (1ere édition) Université de Strasbourg
- Principia par Mme Du Chatelet sur Gallica 1759 (à partir de la 3e édition de 1726). La version papier chez Dunod a pas mal de coquilles.
- Newton implies Kepler B Beckman
- Eléments de géométrie d'Euclide. Remacle.org
- Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Le style mathématique des Principia. de Gandt
- Newton theorem of resolving orbits. Wikipedia
- Mathématiques et mathématiciens. Dedron Itard
- Magnificent Principia. C Pask
- Cours de mécanique. Chaabane
- Forces centrales. politech
- Interaction newtonienne
- Le mouvement des planètes autour du soleil. Pascalini.
ANNEXE: Lemmes I à XI (et la force est en QR/t²)
Les raisonnements de Newton consistent généralement en la recherche de "proportionnalités" dans les figures. Son originalité par rapport à Euclide et Apollonius est qu'il regarde ensuite ce qui se passe lorsqu'elles "s'évanouissent", c'est à dire lorsqu'elles deviennent infiniment petites ou atteignent une limite.
Ainsi le lemme premier expose:
Les quantités et les raisons de quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, et qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l'égalité, que leur différence est plus petite qu'aucune autre différence donnée, deviennent à la fin égales.
On note par rapport à la géométrie des anciens, l'introduction du temps et celle des "valeurs ultimes",
Les lemmes 2 à 4 vont traiter de l'approximation d'une trajectoire par des parallélogrammes.
Le lemme 5 traite de la similitude entre des figures curvilignes et rectilignes: si les cotés homologues sont semblables, leurs aires sont "en raison doublée de cotés"
Les lemme 6 et 7 traitent de l'arc de cercle pour montrer que l'arc la corde et la tangente ont" pour dernière raison" (à la limite) l'égalité.
La démonstration repose sur la similitude entre une figure qui "s'évanouit" et une figure finie.
Les lemmes 8 à 11 s'intéressent aux propriétés des arcs "à courbure continue" lorsqu'ils deviennent très petits.
A la fin du lemme 11 on ne voit pas bien ou Newton veut en venir. Ceci est du au fait qu'il ne parle pas de force dans les lemmes alors qu'il veut généraliser les résultats du mouvement circulaire et montrer:
- La flèche QR d'une trajectoire est pour un temps donné proportionnelle à la force
- Elle est pour une force donnée proportionnelle au carré du temps
- La force est donc en QR/t²
La flèche est proportionnelle à la force
Ceci n'est pas démontré dans les lemmes car la force (centripète) n'est introduite que dans le théorème 1 sur la loi des aires, la flèche est traitée dans 2 corollaires
Corollaire 2
Si les cordes AB, BC, de deux arcs décrits successivement par le même corps en des temps égaux sont complétés en un parallélogramme ABCV; et que la diagonale BV est la même position qu'elle a ultimement quand ces arcs seront diminués à l'infini. Cette diagonale prolongée passera par le centre de la force
Ceci est une conséquence du fait que la force "pousse" le corps suivant une parallèle à BV.
Corollaire 3
Si on fait les parallélogrammes ABCV, DEFZ sur les cordes AB, BC et DE, DF des arcs décrits en des temps égaux, les forces en B et en E seront seront entre elles comme la dernière raison des diagonales BV, EZ lorsque ces arcs diminuent à l'infini cer le mouvement du corps suivant les lignes BC et EF sont composés suivant les lignes Bc , BV, Ef, EZ; or BV et EZ sont égales à Cc et Pf engendrés Pr les impulsions en B et en E de la force centripète et donc proportionnels à cette impulsion.
BcCV et EfFZ sont des parallélogrammes, BV=EZ =Cc=Ff
La flèche est proportionnelle au carré du temps
Ceci relève des lemmes 9 à 11
Lemme IX
Soient donnes de position la droite AE et la courbe ABC, qui se coupent sous un angle donné A, et soit menées de cette droite sous un autre angle donné, les ordonnées BCD, CE qui rencontrent la courbe en B et en C, si on suppose ensuite que les points B et C s'approchent l'un de l'autre continument du point A , les aires des triangles ABD, ACE, seront à la fin entre alles en raison doublée des cotés.
Construisons les triangles Abd et Ace semblables à ABD et ACE mais avec Ad et Ae fixés et une droite Ag . Lorsque B et C s'approcheront de A l'angle cAg s'évanouit, les aires curvilignes de Abd et Ace coïncideront avec les aires rectilignes Afd, Age et seront comme le carré des cotés car semblables (lemme V)
Lemme X
Les espaces qu'une force finie fait parcourir au corps qu'elle presse, soit que cette force soit déterminée et immuable, soit qu'elle augmente ou diminue continuellement, sont dans le commencement du mouvement en raison doublée du temps.
AD et AE sont les temps t, DB et EC les vitesses v. L'espace parcouru sera comme vt, cad comme les aires de ACD et ACE qui sont dans le rapport du carré des cotés AD, AE donc en t²
Lemme XI
Dans toutes les courbes qui ont une courbure finie la sous tendante-évanouissante d'un angle de contact est à la fin en raison doublée de la sous-tendante de l'arc qu'elle termine.
cad que BD se comporte comme AB² lorsqu'il "s'évanouit"
AG perpendiculaire à la tangente en A, b et B sur la courbe donnent les cordes Ab et AB et les sous- tendantes db et DB. les perpendiculaires aux cordes sont Ag et AG.
ABD et ABG sont semblables donc AB/DB=AG/AB => AB²= AG x BD ( idem Ab²=Ag x bd)
On rapproche D et d de A. g et G vont converger vers le centre I du cercle osculateur. Ag et AG peuvent être confondus avec AI donc BD/bd -> (AB/Ab)² or AB est proportionnel au temps
Il en sera de même des flèches des arcs.