La mécanique des fluides sans trop d'équations

On place une maquette d’avion dans une soufflerie ( ou on l’a fait voler ce qui est équivalent mais plus difficile à observer ) et on veut expliquer  pourquoi il vole et comment faire pour qu’il rencontre une résistance à l’avancement minimale

Première explication (fausse) de l'effet de l'air sur une aile en mouvement horizontal.


Nous allons considérer  deux forces perpendiculaires :

  • La portance ( verticale, permet à l'avion de s'élever )
  • La traînée (horizontale, la résistance à l'avancement)  
Voyons d'abord la portance. 
Dans un fluide incompressible à température  et altitude constantes la variation d’énergie d’une masse unitaire peut provenir :
-De la vitesse V qui fait varier l’énergie cinétique ½ V2
-De la pression P qui fait varier l’énergie de pression P/ρ ( ou ρ est la masse volumique) qui représente le travail qu’il faudrait dépenser pour amener le fluide à la pression P
En deux points 1 et 2 d’une ligne de courant l’énergie doit se conserver donc ½ V12 + P1/ρ = ½ V22 + P2/ρ (théorème de Bernoulli)

Si on suit un filet d’air sur une aile son énergie ne doit pas varier. Un filet d’air sur l’extrados (le dessus) a plus parcours à effectuer que sur l’intrados (le dessous), la vitesse du filet est donc supérieure sur l’extrados. L’énergie cinétique d’une masse unitaire augmente donc sur l’extrados, l’énergie de pression  doit alors baisser. Il se créé donc une différence de pression entre l’extrados et l’intrados qui génère une force verticale : la portance. 

Pour calculer la traînée  de l’aile  placée dans un courant de vitesse V à la pression P0 on peut intégrer les efforts sur une surface élémentaire -p n dS ( n vecteur normal à la surface) qui s’écrivent aussi d’après le théorème de Bernoulli  (-P0+ ρ V2 ) n dS. Si on intègre sur la surface, le terme en P0  s’annule  et l’autre terme ne dépend que du carré de la vitesse, donc ne change pas si on inverse la vitesse, donc ne peut être que nul également. C’est le paradoxe de D’Alembert : pour un fluide parfait il n’y a pas d’effort exercé sur le corps du au déplacement du fluide.  

Ce ne peut évidemment être le cas : un corps qui se déplace dans un fluide doit vaincre une force de traînée qui s’oppose au mouvement.

De plus comment expliquer que les avions peuvent voler sur le dos et que les avions de voltige ont des profils d’aile parfaitement symétriques ?

Les pionniers de l'aviation ne se souciaient pas beaucoup de Bernoulli mais s'appuyaient surtout sur l'observation des oiseaux et la pratique des cerfs volants.
Sur ces derniers on avait compris l'essentiel pour commencer à faire des plus lourds que l'air: position relative du centre de poussée et du centre de gravité, problèmes de stabilité.
Pour un cerf volant on fait l'équilibre des forces de gravité ( en G), de "pression" du vent (en D) et de l'attache de la corde ( en K). (en fait la corde est attachée à une bride fixée  en 2 points pour que l'équilibre soit assurée dans une gamme d'inclinaison)Pour stabiliser un cerf volant on utilise un dièdre,  une queue (augmentant la traînée)  ou des cellules multiples (Hargrave)  dont les plans verticaux servent de stabilisateurs.
William A Eddy perfectionna le  cerf volant javanais en losange.		Cerf volant militaire destiné à l'observation du champ de bataille lorsque le vent est trop violent pour les ballons

Il va falloir développer d’autres explications pour expliquer la portance et la trainée d’un avion.

Remarquons tout d’abord que les pales d'une soufflerie prennent la poussière et doivent être nettoyées de temps en temps. Une soufflerie souffle plusieurs heures par jour, la vitesse du fluide devrait les nettoyer parfaitement.
La poussière peut se déposer grâce à la viscosité de l’air qui impose que la vitesse du fluide sur la pale est toujours nulle et qu’il existe une couche limite autour de la pale  ou la vitesse augmente progressivement.  
 Ceci dit, notons qu’une aile « à plat » a très peu de portance car l’écoulement de l’air en aval n’est pas modifié, donc aucune force verticale n’a été appliquée à l’air. Si on l’incline, les lignes de flux à l’aval s’inclinent aussi : l’aile porte. C’est la création d’une composante verticale de la vitesse de l’air qui donne à l’avion sa portance.
Pour le plan inférieur il agit comme un déflecteur mais il est bien connu que l’on peut encombrer le plan inférieur de réservoirs supplémentaires ou d’engins belliqueux sans que le comportement de l’avion soit beaucoup modifié : tout se joue donc sur le plan supérieur. L’air ne suit le plan supérieur qu’à cause de la viscosité qui fait adhérer à la  paroi le filet d’air le plus proche. Si un filet d’air plus éloigné continu son chemin en ligne droite il se crée entre les deux filets une dépression : le deuxième filet est donc aspiré vers le plan. L’aile aspire donc les filets d’air mais de moins en moins au fur et à mesure que l’on s’éloigne du profil ce qui provoque une dépression. A cause de la viscosité l’aile se comporte comme une pompe qui entraine l’air vers le bas ce qui l’a fait, par réaction, monter.

Avant d’aborder la traînée, il faut en savoir plus sur la viscosité

Nous avons du abandonner le modèle du fluide parfait qui, s’écoulant dans un tube, a une  vitesse tombant brusquement à zéro au niveau de la paroi. Nous considérons maintenant  qu’il existe une couche limite d’une certaine épaisseur ou le fluide « ralentit » pour arriver à une vitesse nulle à la paroi.
L’écoulement du fluide peut se faire suivant deux régimes : laminaire ou turbulent.
La viscosité joue comme un amortisseur sur le mouvement du fluide, elle empêche que  de petites irrégularités (rugosité de paroi, poussières,..), qui entraine une vitesse locale non parallèle à l’écoulement, ne provoque des tourbillons : l’écoulement est laminaire . Quand la vitesse augmente les forces d’inertie  deviennent plus fortes et « l’amortisseur » viscosité ne suffit plus, donc des tourbillons se produisent : l’écoulement est turbulent.  
Reynolds en essayant diverses combinaisons de diamètre de tube D , de vitesse V et de fluide de viscosité ν et de masse volumique ρ,  a trouvé que le changement  de régime  se faisait toujours pour une certaine valeur de    dit « nombre de Reynolds ».

En dessous d’un nombre de Reynolds de 2000 l’écoulement est laminaire, au dessus de 10000 il est turbulent  et il est « mixte » entre ces deux valeurs.

Le nombre de Reynolds représente le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité.
 Pour les grands Reynolds le fluide est turbulent parce que  l’effet de l’inertie sur diverses couches du fluide est plus grand que l’effet de la viscosité qui tend à les annuler. Ceci veut dire que des masses du fluide circulent autour de l’objet de façon aléatoire. Pour les petits Reynolds  le fluide est laminaire car ses  particules ne se déplacent que le minimum nécessaire et la viscosité du fluide le retient sur la surface de l’objet.

La situation est beaucoup plus complexe sur une aile car la vitesse est variable sur le profil : il est donc possible d’avoir des parties ou l’écoulement est  laminaire et d’autres ou l’écoulement est turbulent. On devine qu’un écoulement laminaire est préférable car les tourbillons vont dépenser de l’énergie mais un nouveau phénomène va nuancer ce jugement : le décollement. Si les lignes de courant suivent le profil tout va bien - la surface portante est celle de l’aile – si celles se décollent la surface portante diminue>brutalement. Entre les deux maux – turbulence ou décollement – nous allons voir que le second est le pire.
Plaçons une sphère ou un cylindre dans une soufflerie et augmentons la vitesse du flux.
A.     Avec un Reynolds faible l’écoulement est laminaire
B.     Entre 20 et 50 on a des décollements avec une zone arrière de circulation asse stable
C.    Au delà la situation devient plus complexe et on distingue des tourbillons alternés qui se produisent à une certaine fréquence : les allées de tourbillons de Karman
D.    Quand le Reynolds atteint 2500, les tourbillons cessent et le décollement se produit à un angle de 80° vers l’avant de la sphère
E.     Au dessus de 200 000 le point de décollement recule brusquement pour se situer vers 120°
Eiffel et Prandtl seront confrontés à ce mystérieux phénomène de transition au delà d’une vitesse critique qui se traduit par une diminution de la trainée  dans un facteur 3 à 5.
En régime sous critique la couche limite reste laminaire, en régime sur critique elle devient turbulente et c’est cela qui l’a fait mieux « adhérer » à la sphère.
A l’avant de la sphère  on a une accélération de la vitesse donc une diminution de la pression. La vitesse atteint un maximum puis diminue, il y a donc recompression.
La couche limite s’épaissit  alors que la vitesse diminue. Le gradient de vitesse prés de la paroi devient très faible, si l’écoulement est laminaire le fluide se décolle, si l’écoulement est turbulent le phénomène de décollement est retardé car la turbulence produit un mélange efficace qui donne assez d’énergie aux couches près de la paroi pour y rester adhérentes..    



La traînée a 3 origines : le frottement, la  chute de pression à l’aval de l’objet  et la portance elle-même.
- Le frottement génère, à cause de la viscosité, une couche limite d’abord laminaire aux faibles vitesses puis turbulente. La trainée de frottement est plus faible en écoulement laminaire qu’en écoulement turbulent. Plus la surface de contact est grande plus la trainée de frottement est importante.
- La traînée due à la chute de pression dépend de la forme de l’objet et est proportionnelle à sa surface frontale. S’il est correctement profilé il n’y a pas de décollement de la couche limite à l’aval et cette trainée est faible. Le décollement de la couche limite  génère  une trainée très importante mais se produit plus difficilement en régime turbulent.
- La portance venant d’une pression différente sur l’extrados et l’intrados, cette différence t provoque sur les bouts d’ailes un mouvement ascendant de l’air. La circulation de l’air au lieu d’être perpendiculaire au bord de l’aile va se trouver déviée vers le centre pour l’extrados et vers l’extérieur pour l’intrados, tout cela va provoquer des tourbillons en bout d’aile et sur le bord de fuite  et donc d’une trainée induite .

Un objet correctement profilé ne devrait  avoir qu’une trainée de frottement qui sera plus faible en régime laminaire qu’en régime turbulent  (mettons que la différence est dans un rapport 10 au maximum). Le problème est dans le décollement,  pour une aile  que l’on incline, à partir d’un certain angle le décollement va se produire brutalement et réduire la portance à presque rien en augmentant brutalement la trainée. Si l’écoulement est turbulent ce phénomène sera retardé et plus progressif. Il vaut donc peut être mieux se placer en régime turbulent : la trainée sera un peu plus importante mais plus stable. On peut par exemple placer  des turbulateurs (rugosité, fils) sur le profil. 
De toute manière le régime turbulent est obligatoire pour les grands Reynolds, on ne peut donc vraiment envisager des profils d’aile «  laminaires » que pour des planeurs de faible dimension.

Pour un profil d’aile la portance va augmenter avec l’inclinaison et il va exister un angle pour lequel le rapport portance/ trainée sera maximisé, au delà la portance va  augmenter moins vite que la trainée puis pour un certain angle l’aile va décrocher.

L’analyse dimensionnelle  montre que la portance  Pz et  la trainée Tx s’expriment comme :
Pz= Cz ρ S V2 / 2 ,  et  Tx= Cx ρ S V2 / 2,  
ou Cz le coefficient de portance, ρ est la masse volumique du fluide, V la vitesse, Cx est le coefficient de trainée  aérodynamique et S une surface.
( dans les ouvrages anglo-saxons la notation est CL ( L pour lift) et CD (D pour drag) )
Pour un véhicule terrestre, la trainée est due au décollement, il n’y a pas de portance (sinon gare à la tenue de route) et la trainée due au frottement est négligeable S est donc la surface frontale.
Pour un avion la  portance dépend évidemment de la surface des ailes, on a donc adopté la surface des ailes Sa pour S (choix logique aussi pour la trainée s’il n’y a que du frottement) mais le problème est que la portance  induit de la trainée.  Le Cx d’un avion ne tient donc compte que des trainées parasites (frottement, pression) à portance nulle.
Le Cx caractéristique d’un véhicule terrestre est noté Cxp ( pour rappeler qu’il s’agit de pression), celui d’un avion est noté Cxo ( pour rappeler qu’il est donné à portance nulle).

Le Cx total d’un avion s’exprimera Cx= Cxo+Cxi  Cz2  ou Cxi est le coefficient de trainée induite (par la portance Cz).

On a Cxi=Cz2/π AR e ou AR est l’allongement (aspect ratio) et e un coefficient de correction de la répartition de portance de l’ordre de 0,85.
L’allongement est donné par AR= envergure2 /surface, le coefficient e est égal à l’unité si la répartition de la portance est elliptique.
Par exemple le Cx total d’un Cessna 172 s’exprime: Cx= 0,0036 + 0,0066 Cz2
Si on connait le poids de l’avion Mg, sa surface alaire Sa , Cxo, son altitude  et sa vitesse V  on peut en déduire la puissance du moteur.   On commence par calculer  Cz par Mg=1/2Cz ρ Sa V2 (Sa surface alaire, ρ masse volumique de l’air à l’altitude donnée), puis Cx, puis la trainée Td= ½  Cx ρ S V2 et enfin la puissance du moteur par P= Td  V.


Un Airbus 380 et un Cessna ont un aspect très différent (mais des Cxo comparables de l’ordre de 0,030) , cela s’explique par des considérations sur le facteur d’échelle.
Si on augmente par  8 le volume d’un avion, sa surface alaire ne sera multipliée que par 4. Le poids est plutôt proportionnel au volume,   il faut donc soit augmenter la surface alaire par 2, soit la vitesse par 1,4 ( la portance dépend du carré de la vitesse). Si c’est un avion civil, la limite de vitesse est 0,85 Mach et la forme du fuselage est celle d’un tunnel cylindrique pour des motifs économiques : on ne peut donc jouer que sur la surface alaire.
La stabilisation suit les mêmes règles que la portance, les empennages doivent aussi croitre plus vite que le volume  de l’avion..  

Le  nombre de Reynolds(ρ VL / ν) est proportionnel à la portance et donc la  masse d’un avion est pratiquement proportionnelle à son Reynolds.

Le Cxo ne permet pas de comparer deux avions de surface de voilure différente car si on divise par deux la surface de voilure il est évident que l’on ne diminue pas la trainée par deux.
Pour comparer les avions on a d’abord défini le SCxo qui est la surface de la plaque perpendiculaire au mouvement générant une trainée équivalente à l’avion. Si cette grandeur permet une comparaison entre avions de même catégorie, elle ne permet pas de comparer  un Cessna  et un avion d’affaires  qui vu leur dimensions très différentes ont une surface de plaque équivalente évidemment différente.
Pour éliminer le facteur de taille, il suffit de diviser la surface de la plaque par la surface mouillée totale de l’avion (SMT).
Le terme de surface mouillée vient évidemment des navires, dans le cas d’un avion c’est sa surface totale qui est mouillée.
On obtient ainsi un nombre sans dimension appelé coefficient de frottement équivalent  Cfe.
On a donc
La finesse d’un avion est le rapport entre la distance parcourue et la hauteur de chute à vitesse constante. C’est donc le rapport entre sa portance et sa trainée (Cz/Cx).
 On définit aussi  la charge alaire Ch= M/Sa=1/2Cz ρ V2.qui permet de comparer des appareils de Reynolds voisins.

Il est temps de tracer les courbes caractéristiques d’une aile.
On va mesurer Cx, Cz et le couple induit par la portance sur le bord d’attaque  BA de l’aile.
La figure ci contre donne pour une aile les valeurs Cz( noté Cy à l’époque), Cx et Cm (toutes multipliées par 100) en fonction de l’angle d’incidence de l’aile.
La courbe principale est la polaire qui est le tracé des points ( Cx,Cz) en fonctions de l’angle d’incidence. C’est Eiffel qui donna à cette courbe le nom de polaire car si on trace une droite depuis l’origine l’intersection donne la résultante de l’action R sous forme polaire ( )
Une autre courbe est Cz/Cx  en abscisse et les angles d’incidence sur la polaire en ordonnée. Elle montre un maximum de finesse de l’aile entre à 0° et 3°.
La dernière courbe est le tracé de Cm en abscisse en fonction Cz  en ordonnée. Dans notre cas il s’agit d’une droite ce qui veut dire que le centre de poussée ne bouge pas.
Si on connait le couple Cm sur le bord d’attaque BA  et la poussée verticale Fz on en déduit la position du centre de poussée CP  car Cm =longueur_bras_de_levier_BA_CP x Fz
Pour un profil d’aile donnée il existe un point appelé Foyer qui correspond au centre de gravité aérodynamique de l’aile. Pour obtenir sa position on perce des trous perpendiculairement au profil. On passe une tige métallique dans un trou ce qui permet de suspendre l’aile libre en rotation et on souffle. L’équilibre de l’aile varie suivant le trou utilisé et si on pratique du bord d’attaque vers le bord de fuite on va constater que l’aile va se renverser (extrados en bas) pour un trou donné. Le point ou l’aile pourrait être en équilibre dans un sens ou dans un autre est le foyer. En ce point le couple Cmo va rester constant quelque soit l’incidence de l’aile.
Le terme de foyer vient de ce que dans l’écoulement théorique la résultante aérodynamique est tangente à une parabole et est de moment constant par rapport à un foyer  de celle ci
Si un coup de vent soulève l’aile et augmente l’incidence et si le centre de poussée est en arrière  du foyer le centre de poussée va avancer ( la poussée augmente, le bras de levier doit diminuer pour conserver le même moment au foyer) et l’aile va se cabrer encore plus, si le centre de poussée est en avant du  foyer  le centre de poussée va reculer et l’aile va avoir tendance à piquer. Le premier type de profil est instable naturellement (et devra être stabilisé)  alors que le second est stable. Un avion de chasse peut utiliser un profil instable à cause de ses asservissements sophistiqués  des gouvernes, un parapente utilisera l’effet pendulaire pour stabiliser le profil, pour les autres il faut que l’empennage stabilise le profil.
Un profil à Cm positif, donc moment piqueur, a son foyer situé à l’avant du centre de poussée.
Un profil à Cm négatif, donc moment cabreur, a son foyer situé à l’arrière du centre de poussée.
Si le centre de poussée de l’aile n’est pas confondu avec le centre de gravité de l’appareil, l’avion est soumis à un moment. Celui-ci est cabreur si le centre de poussée est en avant du centre de gravité et  piqueur  s’il est en arrière. L’empennage horizontal arrière va donc devoir équilibrer ce moment en  créant un moment de sens inverse.
Dans le cas ou le centre de gravité est derrière le centre de poussée de l’aile il faut un empennage porteur qui créé un moment piqueur. On définit comme pour l’aile un foyer ou le moment est constant quelque soit l’incidence. Supposons une perturbation qui cabre l’avion, elle augmente la portance de l’aile et de la dérive. Si le foyer est en avant du centre de gravité c‘est l’augmentation de  portance de l’aile qui l’emporte et l’avion est instable, si le foyer est derrière le centre de gravité le moment piqueur de la dérive l’emporte et l’avion se rétablit. L’instabilité a un avantage : l’avion répond immédiatement à une sollicitation sur les commandes. C’est pourquoi les avions de chasse sont conçus naturellement instables. 

Sites et références